Tích phân và ứng dụng: Kiến thức cơ bản cho học sinh THPT

Tích phân là một phần quan trọng trong chương trình Toán học THPT, đóng góp khoảng 10% các bài toán thi THPT Quốc Gia. Hiểu rõ về tích phân không chỉ giúp các em làm bài thi tốt mà còn là nền tảng cho nhiều môn học cao hơn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về khái niệm, tính chất và các phương pháp tính tích phân, cũng như ứng dụng của nó trong cuộc sống.

I. Tích phân là gì?

1. Khái niệm

Giả sử hàm số ( f(x) ) liên tục trên khoảng ( K ) và ( a, b in K ). Hàm số ( F(x) ) gọi là nguyên hàm của ( f(x) ) trên ( K ), thì ( F(b) – F(a) ) được gọi là tích phân của ( f(x) ) từ ( a ) đến ( b ).

Đổi với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất cứ một chữ cái khác thay cho ( x ), nghĩa là:

Ý nghĩa hình học:

Nếu hàm số ( y = f(x) ) liên tục và không âm trên đoạn ([a;b]) thì diện tích ( S ) của hình thang cong giới hạn bởi đường thẳng ( y = f(x) ), trục ( Ox ) và hai đường thẳng thẳng ( x = a, x = b ) là:

2. Tính chất của tích phân

Tính chất của tích phân

II. Phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến số

Định lý:

Giả sử hàm số ( f(x) ) liên tục trên đoạn ([a;b]). Gọi sử hàm số ( x = Phi(t) ) có đạo hàm liên tục trên đoạn ([alpha; beta]) sao cho ( Phi(alpha) = a; Phi(beta) = b ) và ( a leq Phi(t) leq b ) với mọi ( t in [alpha; beta] ).

Khi đó:

Tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Ví dụ về tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

2. Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lý:

Tính tích phân từng phần

Ví dụ về cách tính tích phân bằng phương pháp tính tích phân từng phần

III. Ứng dụng tích phân trong tính diện tích, thể tích các loại hình đơn giản

1. Tính diện tích hình phẳng

Định lý 1:

Cho hàm số ( y = f(x), y = g(x) ) liên tục trên ([a;b]).

• Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng (dạng 1)

• Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng (dạng 2)

• Dạng 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng (dạng 3)

Trong đó: ( x_1, x_n ) tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình: ( f(x) = g(x) ).

• Dạng 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng (dạng 4)

2. Tính thể tích khối tròn xoay

a. Tính thể tích của vật thể

Định lý 2:

Cắt một vật thể ( C ) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục ( Ox ) lần lượt tại ( x = a, x = b (a < b) ). Gọi sử dụng ( S(x) ) là hàm liên tục trên ([a;b]).

Khi đó thể tích của vật thể ( C ) giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính theo công thức:

Công thức tính thể tích của vật thể

b. Tính thể tích vật tròn xoay

• Dạng 1: Thể tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Cách tính thể tích vật tròn xoay (dạng 1)

• Dạng 2: Thể tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Cách tính thể tích vật tròn xoay (dạng 2)

• Dạng 3: Thể tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Cách tính thể tích vật tròn xoay (dạng 3)

IV. Các lớp tích phân đặc biệt

• Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân là hàm chẵn, lẻ

Bài toán 1: Nếu ( f(x) ) là hàm chẵn và liên tục trên đoạn ([-a;a]) thì:

Các lớp tích phân đặc biệt

Các lớp tích phân đặc biệt

V. Lịch sử về tích phân

Phép tính tích phân đã được các nhà bác học sử dụng từ trước thế kỷ XVIII. Đến thế kỷ XIX, Cô-si (Cauchy, 1789 – 1857) và Ri-man (Riemann, 1826 – 1866) mới dựng được một lý thuyết chính xác về tích phân. Lý thuyết này về sau được Lơ-be-gơ (Lebesgue, 1875 – 1941) và Đen-joy (Denjoy, 1884 – 1974) hoàn thiện.

Để định nghĩa tích phân, các nhà toán học ở thế kỷ XVII và XVIII không dùng khái niệm giới hạn. Thay vào đó, họ nói “tổng của một số vô cùng lớn nhưng hạng vô cùng nhỏ”. Chẳng hạn, diện tích của hình thang cong là tổng của một số vô cùng lớn nhưng diện tích của những hình chữ nhật vô cùng nhỏ.

Dựa trên cơ sở này, Kê-ple (Kepler, 1571 – 1630) đã tính một cách chính xác nhiều diện tích và thể tích. Các nghiên cứu này được Ca-va-li-ê-ri (Cavalieri, 1598 – 1647) tiếp tục phát triển.

Dưới dạng trừu tượng, tích phân đã được Lai-bê-nít định nghĩa và đưa vào ký hiệu J, gọi “tích phân” do Bec-nu-li (Jacob Bernoulli, 1654 – 1705) học trò của Lai-bê-nít đề xuất.

VI. Bài tập

Dưới đây là một số dạng toán cơ bản về Tích phân để các em luyện tập:

Bài tập về tích phân và ứng dụng của tích phân

Các dạng toán khác về Tích phân và ứng dụng của tích phân được ghi chú và diễn giải rất đầy đủ trong cuốn sách Sổ tay Toán học cấp 3 All in one của Tkbooks. Các bạn hãy mua ngay cuốn sách này để ôn luyện các dạng toán này tốt hơn nhé!

Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh cấp 3 hàng đầu tại Việt Nam.

Tkbooks.vn