Phương Trình Mặt Phẳng: Cấu Trúc và Ứng Dụng

Phương trình mặt phẳng là một trong những kiến thức cơ bản, nhưng rất quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Kiến thức này không chỉ giúp các em nắm vững lý thuyết mà còn rất cần thiết để giải quyết các bài toán trong kỳ thi THPT Quốc Gia, với tỉ lệ xuất hiện lên đến 10%. Do đó, việc hiểu rõ và luyện tập thường xuyên là cực kỳ cần thiết.

I. Phương Trình Mặt Phẳng

1. Vectơ Pháp Tuyến và Cấp Vectơ Chỉ Phương

• Một vectơ $ vec{n} neq 0 $ là vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (α) nếu giá trị của $ vec{n} $ vuông góc với (α).
• Hai vectơ $ vec{a}, vec{b} $ không cùng phương là cấp vectơ chỉ phương (VTCP) của (α) nếu các giá trị của chúng song song hoặc nằm trên (α).

Chú ý:

• Nếu $ vec{n} $ là một VTPT của (α) thì $ kvec{n} $ (với $ k neq 0 $) cũng là VTPT của (α).
• Nếu $ vec{a}, vec{b} $ là một cặp VTCP của (α) thì $ vec{n} = [a,b] $ là một VTPT của (α).

Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng

2. Phương Trình Tổng Quát của Mặt Phẳng

$ Ax + By + Cz + D = 0 $ với $ A^2 + B^2 + C^2 > 0 $

Nếu (α) có phương trình $ Ax + By + Cz + D = 0 $ thì $ vec{n} = (A,B,C) $ là một VTPT của (α).

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $ M_0(x_0;y_0;z_0) $ và có một VTPT $ vec{n} = (A,B,C) $ là:

$ A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0 $

3. Các Trường Hợp Đặc Biệt

Các hệ số	Phương trình mặt phẳng (α)	Tính chất mặt phẳng (α)
$ D = 0 $	$ Ax + By + Cz = 0 $	(α) đi qua gốc tọa độ O.
$ A = 0 $	$ By + Cz + D = 0 $	(α)//Oz hoặc (α)⊥Ox
$ B = 0 $	$ Ax + Cz + D = 0 $	(α)//Oy hoặc (α)⊥Oz
$ C = 0 $	$ Ax + By + D = 0 $	(α)//Ox hoặc (α)⊥Oy
$ A = B = 0 $	$ Cz + D = 0 $	(α)//(Oxy) hoặc (α)≡(Oxy)
$ A = C = 0 $	$ By + D = 0 $	(α)//(Oxy) hoặc (α)≡(Oxy)
$ B = C = 0 $	$ Ax + D = 0 $	(α)//(Oyz) hoặc (α)≡(Oyz)

Chú ý:

• Nếu trong phương trình (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song hoặc chứa mặt phẳng tương ứng.
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (α):

$ frac{x}{a} + frac{y}{b} + frac{z}{c} = 1 $

tại đây (α) cắt các trục tại các điểm $ A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) $ với $ abc neq 0 $.

II. Khoảng Cách

Trong không gian Oxyz, cho điểm $ A(x_A;y_A;z_A) $ và mặt phẳng (α): $ Ax + By + Cz + D = 0 $.

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α) được tính theo công thức:

$ D(A,(α)) = frac{(Ax_A + By_A + Cz_A + D)}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $

Bài toán ví dụ tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

III. Vị Trí Tương Đối Giữa Hai Mặt Phẳng

1. Vị Trí Tương Đối Giữa Hai Mặt Phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

(α): $ A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 $.

(β): $ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 $.

Mối quan hệ:

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Bài toán ví dụ về vị trí tương đối của mặt phẳng

2. Vị Trí Tương Đối Giữa Mặt Phẳng và Mặt Cầu

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): $ Ax + By + Cz + D = 0 $ và mặt cầu (S): $(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2 $.

Để xét vị trí của (α) và (S), ta làm như sau:

• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của (S) đến (α).
• Bước 2:

Mối quan hệ	Điều kiện
(α) không cắt (S)	$ d(I,(α)) > R $
(α) tiếp xúc (S) tại H. Khi đó H được gọi là tiếp điếm, là hình chiếu vuông góc $ d(I,(α)) = R $ của I lên (α) và (α) được gọi là tiếp diện.	$ d(I,(α)) = R $
(α) cắt (S) theo đường tròn có phương trình $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 $; $ Ax + By + Cz + D = 0 $ Bán kính của (C) là $ r = sqrt{R^2 – d^2(I,(α))} $ Tâm H của (C) là hình chiếu vuông góc của I trên (α).	$ d(I,(α)) $

IV. Góc

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

(α): $ A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 $ và (β): $ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 $.

Góc giữa (α) và (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT $ vec{n}(α), vec{n}(β) $.

Tức là:

Góc trong không gian

V. Các Dạng Toán Viết Phương Trình Mặt Phẳng

Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng (1)

Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng (2)

Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng (3)

VI. Bài Tập

Dưới đây là một số dạng toán cơ bản về Phương Trình Mặt Phẳng để các em luyện tập:

Bài tập về phương trình mặt phẳng

Các dạng toán khác về thể tích khối đa diện được ghi chú và diễn giải rất đầy đủ trong cuốn sách Sổ tay Toán học cấp 3 All in One của Tkbooks. Các bạn hãy mua ngay cuốn sách này để ôn luyện các dạng toán này tốt hơn nhé!

Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh cấp 3 hàng đầu tại Việt Nam.

Tkbooks.vn