Ứng Dụng Hệ Thức Vi Et và Vận Dụng Trong Giải Toán Đại Số

Hệ thức Vi-et không chỉ là một công cụ quan trọng trong toán học mà còn giúp học sinh có thể giải quyết nhiều bài toán đại số một cách hiệu quả. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết và 7 dạng bài tập liên quan đến hệ thức Vi-et, nhằm cung cấp cho các bạn một nguồn tài liệu tham khảo phong phú và hữu ích.

I. Lý Thuyết Về Hệ Thức Vi Et và Ứng Dụng

Hệ thức Vi-et là một công thức giúp liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số của nó. Giả sử ( x_1 ) và ( x_2 ) là hai nghiệm của phương trình bậc hai dạng ( ax^2 + bx + c = 0 ) (với ( a neq 0 )), thì ta có:

• Tổng các nghiệm: ( S = x_1 + x_2 = -frac{b}{a} )
• Tích các nghiệm: ( P = x_1 cdot x_2 = frac{c}{a} )

Hệ thức Vi-et giúp cho việc giải phương trình bậc hai trở nên dễ dàng hơn, đặc biệt khi biết tổng và tích của các nghiệm.

II. Các Dạng Toán Liên Quan Đến Hệ Thức Vi Et và Ứng Dụng

Dạng 1: Giải Phương Trình Bậc Hai Bằng Cách Nhậm Nghiệm

Phương Pháp

Phương trình bậc hai có dạng ( ax^2 + bx + c = 0 ) (với ( a neq 0 )).

• Nếu ( a + b + c = 0 ) thì phương trình có hai nghiệm ( x_1 = 1 ) và ( x_2 = frac{c}{a} ).
• Nếu ( a – b + c = 0 ) thì phương trình có hai nghiệm ( x_1 = -1 ) và ( x_2 = -frac{c}{a} ).

Nhận Xét: Để tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo hệ thức Vi-et, cần đảm bảo phương trình bậc hai có nghiệm.

Ví Dụ

Ví dụ 1: Nhậm nghiệm của các phương trình sau:

a) ( -3x^2 + 8x – 5 = 0 )

b) ( x^2 + (1 – sqrt{5})x – sqrt{5} = 0 )

Lời Giải:

a) Vì ( -3 + 8 – 5 = 0 ) nên phương trình có hai nghiệm ( x_1 = 1 ); ( x_2 = frac{5}{3} ).

b) Vì ( 1 – (1 – sqrt{5}) – sqrt{5} = 0 ) nên phương trình có nghiệm ( x_1 = -1 ); ( x_2 = sqrt{5} ).

Dạng 2: Tìm Hai Số Khi Biết Tổng và Tích

Phương Pháp

Nếu hai số ( u, v ) có tổng ( S = u + v ) và tích ( P = uv ), thì ( u, v ) là hai nghiệm của phương trình ( x^2 + Sx + P = 0 ) (điều kiện có nghiệm là ( S^2 – 4P > 0 )).

Ví Dụ

Ví dụ 3: Tìm hai số ( u, v ) biết:

a) ( u + v = 12 ) và ( uv = 32 );

b) ( u + v = -8 ) và ( uv = -33 ).

Lời Giải:

a) Hai số ( u,v ) là nghiệm của phương trình ( x^2 – 12x + 32 = 0 ). Ta có: ( Delta’ = 4 ) => phương trình có hai nghiệm phân biệt: ( x_1 = 8, x_2 = 4 ).

b) ( (u; v) = {(3; -11); (-11; 3)} ).

Dạng 3: Lập Phương Trình Bậc Hai Biết Điều Kiện Của Hai Nghiệm

Phương Pháp

Nếu ( S = x_1 + x_2 ) và ( P = x_1x_2 ), thì ( x_1, x_2 ) là hai nghiệm của phương trình ( x^2 – Sx + P = 0 ).

Ví Dụ

Ví dụ 5: Cho phương trình ( x^2 + 5x – 1 = 0 ). Gọi ( x_1, x_2 ) là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là ( frac{1}{x_1} ) và ( frac{1}{x_2} ).

Lời Giải:

Phương trình có hai nghiệm ( x_1, x_2 ) là nghiệm của phương trình ( x^2 + 5x – 1 = 0 ).

Dạng 4: Tìm Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Không Phụ Thuộc Vào Tham Số

Phương Pháp

Cho phương trình bậc hai ( ax + bx + c = 0 ) (với ( a neq 0 )):

• Bước 1: Xét điều kiện để phương trình có nghiệm: ( Delta geq 0 ).
• Bước 2: Sử dụng hệ thức Vi-et để tính tổng và tích của hai nghiệm.
• Bước 3: Khẳng định tham số.

Ví Dụ

Ví dụ 7: Cho phương trình ( x^2 + 2mx – m – 2 = 0 ) có hai nghiệm ( x_1, x_2 ). Tìm hệ thức liên hệ giữa ( x_1, x_2 ) không phụ thuộc vào tham số ( m ).

Lời Giải:

Ta có: ( Delta’ = m^2 + m + 2 = (m + frac{1}{2})^2 + frac{7}{4} > 0 ) với mọi ( m ).

Dạng 5: Tính Giá Trị Biểu Thức Đổi Xứng Giữa Các Nghiệm Của Phương Trình Bậc Hai

Phương Pháp

Xét phương trình bậc hai ( ax^2 + bx + c = 0 ) (với ( a neq 0 )):

• Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
• Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-et: ( S = x_1 + x_2, P = x_1x_2 ).
• Bước 3: Biến đổi biểu thức theo tổng và tích nghiệm.

Ví Dụ

Ví dụ 9: Gọi ( x_1, x_2 ) là hai nghiệm của phương trình ( x^2 – 5x – 8 = 0 ). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ( A = x_1^2 + x_2^2 );

b) ( B = frac{1}{x_1} + frac{1}{x_2} )

Lời Giải:

Ta có: ( Delta = 57 > 0 ) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ( x_1, x_2 ).

a) ( A = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 = 41 ).

b) ( B = frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = -frac{5}{8} ).

Dạng 6: Xét Dấu Các Nghiệm Của Phương Trình Bậc Hai

Phương Pháp

Xét phương trình ( ax^2 + bx + c = 0 ) (với ( a neq 0 )). Khi đó:

Cách Xét Dấu Các Nghiệm Của Phương Trình Bậc Hai

Ví Dụ

Ví Dụ 11: Cho phương trình ( x^2 – 2(m – 3)x + 4m – 1 = 0 ). Xác định ( m ) để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Lời Giải:

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ( ac < 0 ).

Dạng 7: Giải Hệ Phương Trình Đổi Xứng Hai Ẩn

Phương Pháp

Hệ phương trình đổi xứng hai ẩn là hệ phương trình có hai ẩn ( x ) và ( y ). Nếu đổi ( x ) và ( y ) cho nhau thì hệ vẫn không thay đổi.

• Bước 1: Đặt ẩn phụ.
• Bước 2: Giải hệ để tìm ( S, P ).
• Bước 3: Tìm nghiệm từ phương trình ( x^2 – Sx + P = 0 ) (điều kiện có nghiệm là ( S^2 geq 4P )).

Ví Dụ

Hy vọng rằng, bài viết “Hệ Thức Vi Et và Ứng Dụng – Lý Thuyết và 7 Dạng Bài Tập Liên Quan” trên đã cung cấp cho các bạn những kiến thức bổ ích và phương pháp giải toán hiệu quả. Để tìm hiểu thêm về kiến thức Toán lớp 9 trong học kỳ 2, các bạn nên tham khảo cuốn sách Làm Chủ Kiến Thức Toán 9 Ôn Thi Vào 10 Phần Đại Số của Tkbooks nhé!

Link để đọc thử sách: https://drive.google.com/file/d/1uaOJCek1Mpmm-UbFU3hEIVzQ0P6PPaoC/view

TKbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh THCS hàng đầu tại Việt Nam.