Cách Tính Tổ Hợp, Chỉnh Hợp và Nhị Thức Newton

Công thức tổ hợp và chỉnh hợp là kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Kiến thức này xuất hiện trong khoảng 10% các bài toán và câu hỏi trong đề thi THPT Quốc Gia, vì thế các em cần nắm chắc phần này để đạt được điểm số tối ưu.

Dưới đây là tổng hợp kiến thức về Công thức tổ hợp và chỉnh hợp, các em hãy lưu lại và ôn luyện thường xuyên để nắm chắc kiến thức nhé!

I. QUY TẮC ĐẠM

1. Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

Quy tắc cộng
Quy tắc cộng

Ví dụ về quy tắc cộng
Ví dụ về quy tắc cộng

2. Quy tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m × n cách hoàn thành công việc.

Quy tắc nhân
Quy tắc nhân

Ví dụ về quy tắc nhân
Ví dụ về quy tắc nhân

II. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

1. Hoán vị

a) Định nghĩa

Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

b) Định lý

Số các hoán vị của n phần tử, ký hiệu là:

P = n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1

2. Chỉnh hợp

a) Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k (với 1 ≤ k ≤ n) phần tử của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

b) Định lý

Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là:

Akn = n!/(n – k)!

c) Một số quy ước

0! = 1; A0n = 1; Ann = n! = Pn

Ví dụ về chỉnh hợp
Ví dụ về chỉnh hợp

3. Tổ hợp

a) Định nghĩa

Giả sử tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k (với 1 ≤ k ≤ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

b) Định lý

Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là:

Ví dụ về tổ hợp chập k của một tập có n phần tử

c) Một số quy ước

C0n = 1; Cnn = 1

Với quy ước này ta có:

Đúng với số nguyên dương k thỏa mãn 1 ≤ k ≤ n.

d) Tính chất

• Tính chất 1: Ckn = Cn-kn (với 0 ≤ k ≤ n).
• Tính chất 2: Ck – 1n – 1 = Ckn (với 1 ≤ k ≤ n).
• Tính chất 3: k.Ckn = n. Ck – 1n – 1
• Tính chất 4: (n+1).Ckn = (k + 1).Ck + 1n + 1

Ví dụ về tổ hợp
Ví dụ về tổ hợp

III. NHỊ THỨC NEWTON

1. Nhị thức Newton

Nhị thức Newton
Nhị thức Newton

2. Hệ quả

• Với a = b =1.

Ta có 2n = C0n + C1n + … + Cn-1n + C”n.

• Với a = 1; b = -1.

Ta có 0n = C0n – C1n + … + (-1)kCkn + … + (-1)nC”n.

Ví dụ về nhị thức Newton
Ví dụ về nhị thức Newton

3. Chú ý

Trong biểu thức ở vế phải của khai triển (a + b)n:

• Số hạng từ là: n + 1;
• Các hạng từ có số mũ của a giảm dần từ n đến 0.
• Các hạng từ có số mũ của b tăng dần từ 0 đến n.

Tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng từ luôn bằng n (quy ước a0 = b0 =1);

• Các hệ số của mỗi cấp hạng từ cách đều hai hạng từ đầu và cuối đều bằng nhau.
• Số hạng thứ k +1 trong khai triển là Tk+1 = Ckn.an-k.bk

4. Khai triển tam thức

Khai triển tam thức Newton

5. Tâm giác Pascal

Các hệ số của khai triển: (a + b)0, (a + b)1, (a + b)2, …, (a + b)n có thể xếp thành một tam giác gọi là tam giác PASCAL.

Tam giác Pascal
Tam giác Pascal

Hàng dọc thức Pascal:

Hàng dọc thức Pascal
Hàng dọc thức Pascal

IV. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÓ

Dạng 1: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (a + bx)n

Phương pháp: Xét khai triển nhị thức Newton có số hạng tổng quát: Tk+1 = Ckn. an-k.bk.xk

Đặt ak = Ckn. an-k.bk (với 0 ≤ k ≤ n) thì dãy hệ số là {ak}.

Khi đó hệ số lớn nhất trong khai triển này thỏa mãn hệ phương trình:

Dạng 2: Tìm số hạng hữu tỷ (hoặc số hạng là số nguyên) trong khai triển (a + b)n.

Phương pháp: Xét khai triển (a + b)n có số hạng tổng quát:

(với α, β là các số hữu tỷ).

Số hạng hữu tỷ cần tìm thỏa mãn hệ phương trình:

(với k ∈ N, 0 ≤ k ≤ n) => k0 => Ck0n.an-k0.bk0 là số hạng cần tìm.

V. CÁCH TÍNH TỔ HỢP BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Cách tính tổ hợp bằng máy tính cầm tay
Cách tính tổ hợp bằng máy tính cầm tay

VI. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Dưới đây là một số dạng toán cơ bản về Tổ hợp, Chỉnh hợp và Nhị thức Newton để các em luyện tập:

1. Bài tập tổ hợp, chỉnh hợp

Bài tập về tổ hợp, chỉnh hợp
Bài tập về tổ hợp, chỉnh hợp

2. Bài tập nhị thức Newton

Bài tập về nhị thức Newton
Bài tập về nhị thức Newton

Các dạng toán khác về Công thức tổ hợp, chỉnh hợp và nhị thức Newton được ghi chú và diễn giải rất đầy đủ trong cuốn sách Sổ tay Toán học cấp 3 All in one của Tkbooks. Các bạn hãy mua ngay cuốn sách này để ôn luyện các dạng toán này tốt hơn nhé!

Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh cấp 3 hàng đầu tại Việt Nam.

Tkbooks.vn