Vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là trong kỳ thi THPT Quốc gia. Kiến thức này chiếm khoảng 10% các bài toán và câu hỏi, do đó việc nắm vững lý thuyết và các dạng bài tập liên quan là cực kỳ quan trọng để đạt điểm số cao. Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào các khái niệm và ứng dụng của vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc, nhằm giúp các bạn học sinh có sự chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi.
I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán với vectơ trong không gian
Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A và điểm cuối là B thì ta có một vectơ, ký hiệu là (vec{AB}).
Định nghĩa:
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Ký hiệu (vec{AB}) chỉ vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B. Vectơ có thể được ký hiệu bằng (vec{a}, vec{b}, vec{x}, vec{y},)…
Các khái niệm liên quan đến vectơ như giá trị của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ không, sự bằng nhau của hai vectơ được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.
>>> Click để xem thêm kiến thức về vectơ trong mặt phẳng
2. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
a. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian
Trong không gian cho ba vectơ (vec{a}, vec{b}, vec{c}) đều khác vectơ không.
Nếu từ một điểm O bất kỳ ta vẽ (vec{OA} = vec{a}, vec{OB} = vec{b}, vec{OC} = vec{c}) thì có thể xảy ra hai trường hợp:
- Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng vectơ (vec{a}, vec{b}, vec{c}) không đồng phẳng.
- Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ (vec{a}, vec{b}, vec{c}) đồng phẳng. Trong trường hợp này giá trị của các vectơ (vec{a}, vec{b}, vec{c}) luôn song song với một mặt phẳng.
Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nêu trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.
Từ đó ta có định nghĩa sau:
b. Định nghĩa
Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá trị của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
a. Góc giữa hai vectơ trong không gian
Định nghĩa:
Trong không gian, cho (vec{u}) và (vec{v}) là hai vectơ khác 0. Lấy một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho (AB = vec{u}, AC = vec{v}).
Khi đó ta gọi góc BAC (0° < a < 180°).
Góc giữa hai vectơ trong không gian
b. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Định nghĩa:
Trong không gian, cho hai vectơ (vec{u}) và (vec{v}) là hai vectơ khác (vec{0}).
Tích vô hướng của hai vectơ (vec{u}) và (vec{v}) là một số, ký hiệu là (vec{u} cdot vec{v}) được xác định bởi công thức:
[
vec{u} cdot vec{v} = |vec{u}| cdot |vec{v}| cdot cos(vec{u}, vec{v})
]
Trong trường hợp (vec{u} = 0) hoặc (vec{v} = 0), ta quy ước (vec{u} cdot vec{v} = 0).
2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
a. Định nghĩa
Vectơ (vec{a}) khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá trị của vectơ (vec{a}) song song hoặc trùng với đường thẳng d.
Minh họa về vectơ chỉ phương của đường thẳng
b. Nhận xét
- Nếu (vec{a}) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ (k cdot vec{a}) với (k neq 0) cũng là vectơ chỉ phương của d.
- Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương (vec{a}) của nó.
- Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.
3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
a. Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.
Ví dụ minh họa góc giữa hai đường thẳng trong không gian
b. Nhận xét
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
Nếu (vec{u}) là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và (vec{v}) là vectơ chỉ phương của đường thẳng b thì ((vec{u}, vec{v}) = a) thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng a nếu 0° < a < 90°.
4. Hai đường thẳng vuông góc
a. Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.
Người ta ký hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là (a perp b).
b. Nhận xét
- Nếu (vec{u}) và (vec{v}) lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì (a perp b) nếu (vec{u} cdot vec{v} = 0).
- Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
- Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
5. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
a. Định nghĩa
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
Ví dụ minh họa về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
b. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định lý:
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Hệ quả:
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.
c. Tính chất
- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng AB vuông góc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
6. Hai mặt phẳng vuông góc
6.1. Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng thẳng đứng vuông góc với hai mặt phẳng.
Minh họa góc giữa hai mặt phẳng
6.2. Hai mặt phẳng vuông góc
Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.
Kết luận
Trên đây là những kiến thức cơ bản về vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc mà các bạn học sinh cần nắm vững. Việc làm quen và luyện tập với các dạng bài tập liên quan sẽ giúp các bạn chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia. Hãy thường xuyên ôn luyện và tham khảo thêm tài liệu tại loigiaihay.edu.vn để củng cố kiến thức của mình nhé!
Để lại một bình luận