Phương trình và hệ phương trình là những khái niệm cơ bản, nhưng vô cùng quan trọng trong chương trình Toán học bậc THPT. Kiến thức về những vấn đề này không chỉ xuất hiện phổ biến trong các bài thi tốt nghiệp THPT quốc gia mà còn là nền tảng cho nhiều môn học khác. Để đạt được điểm số tối ưu, việc nắm vững kiến thức này là điều cần thiết.
Dưới đây là tổng hợp những kiến thức về phương trình và hệ phương trình mà mỗi học sinh cần ghi nhớ và rèn luyện thường xuyên.
I. Cơ Bản về Phương Trình
1. Phương Trình Một Ẩn
Phương trình một ẩn có dạng f(x) = g(x) (1), trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức của x. Chúng ta gọi f(x) là vế trái, còn g(x) là vế phải của phương trình. Nếu tồn tại giá trị thực x0 sao cho f(x0) = g(x0), thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1). Quá trình giải phương trình (1) là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của nó.
2. Điều Kiện của Một Phương Trình
Khi giải phương trình (1), cần lưu ý đến điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa. Điều này được gọi là điều kiện xác định của phương trình.
3. Phương Trình Nhiều Ẩn
Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn như:
- 3x + 2y = x² – 2xy + 8 (2)
- 4x² – xy + 2z = 3z² + 2xz + y² (3)
Phương trình (2) là phương trình hai ẩn (x, y), còn phương trình (3) là phương trình ba ẩn (x, y, z). Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, do đó (x; y) = (2; 1) là một nghiệm của phương trình (2).
4. Phương Trình Chứa Tham Số
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ số đóng vai trò ẩn số, còn có thể có các chữ cái khác được xem như những tham số.
II. Phương Trình Tương Đương và Phương Trình Hệ Quả
1. Phương Trình Tương Đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
2. Phép Biến Đổi Tương Đương
Định lý: Nếu thực hiện các phép biến đổi sau trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương:
- Cộng hoặc trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
- Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
3. Phương Trình Hệ Quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x), thì phương trình f1(x) = g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x).
III. Phương Trình và Hệ Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
I. Ôn Tập Về Phương Trình Bậc Nhất, Bậc Hai
1. Phương Trình Bậc Nhất
Cách giải và biến luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau:
| Hệ số | Kết luận |
|---|---|
| a ≠ 0 | PT có nghiệm duy nhất x = -b/a |
| a = 0, b = 0 | PT vô nghiệm |
| b ≠ 0 | PT vô số nghiệm |
2. Phương Trình Bậc Hai
ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0). Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau:
| Δ = b² – 4ac | Kết luận |
|---|---|
| Δ > 0 | PT có hai nghiệm phân biệt x1,2 = (-b ± √Δ)/2a |
| Δ = 0 | PT có nghiệm kép x = -b/2a |
| Δ < 0 | PT vô nghiệm |
3. Định Lý Vi – Ét
Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì:
- x₁ + x₂ = -b/a = S
- x₁.x₂ = c/a = P
Ngược lại, nếu hai số u, v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u, v là các nghiệm của phương trình x² – Sx + P = 0.
4. Tính Chất Nghiệm – Điều Kiện Tương Đương
| Tính chất nghiệm | Điều kiện |
|---|---|
| có nghiệm | Δ = b² – 4ac ≥ 0 |
| 2 nghiệm trái dấu | ac < 0 |
| 2 nghiệm đương phân biệt | |
| 2 nghiệm âm phân biệt |
IV. Phương Trình và Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
I. Ôn Tập Về Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
1. Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là: ax + by = c (trong đó a, b, c là các hệ số với a² + b² > 0, tức là a, b không đồng thời bằng 0).
| Trường hợp | Nghiệm |
|---|---|
| a = b = 0, c ≠ 0 | Vô nghiệm |
| c = 0 | Vô số nghiệm |
| b ≠ 0 | Có nghiệm duy nhất (x₀; ((-ax₀ + c)/b) |
Bài tập về phương trình bậc nhất hai ẩn
2. Hệ Hai Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:
Nếu cặp số (x₀; y₀) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x₀; y₀) được gọi là nghiệm của hệ phương trình.
3. Hệ Ba Phương Trình Bậc Nhất Ba Ẩn
Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là: ax + by + cz = d, trong đó x, y, z là ba ẩn số; a, b, c, d là các hệ số (với a² + b² + c² > 0, tức là a, b, c không đồng thời bằng 0).
Mỗi bộ ba số (x₀; y₀; z₀) nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là nghiệm của hệ phương trình.
Cách Giải Hệ Phương Trình
I. Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Cộng Đại Số
Ta đã biết muốn giải một bệ phương trình hai ẩn thì tìm cách quy về việc giải phương trình một ẩn. Mục đích đó cũng có thể đạt được bằng cách áp dụng quy tắc sau gọi là quy tắc cộng đại số.
+ Quy Tắc Cộng Đại Số
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau:
- Bước 1: Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình của hệ để được một phương trình mới.
- Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).
Ví dụ về hệ phương trình
Kết Luận
Nắm vững các kiến thức về phương trình và hệ phương trình là rất quan trọng không chỉ trong việc học tập mà còn trong quá trình thi cử. Hãy thường xuyên ôn tập và luyện tập giải các bài tập liên quan để củng cố kiến thức của bạn. Nếu bạn cần thêm tài liệu tham khảo, hãy truy cập loigiaihay.edu.vn để tìm kiếm những nguồn học liệu hữu ích.
Để lại một bình luận