Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình đường thẳng trong không gian là một kiến thức cực kỳ quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Kiến thức này xuất hiện trong khoảng 10% các bài toán và câu hỏi trong đề thi THPT Quốc Gia, vì thế các em cần nắm chắc phần này để đạt được điểm số tối ưu.

Dưới đây là toàn bộ kiến thức về Phương trình đường thẳng trong không gian. Các em hãy lưu lại và ôn luyện thường xuyên để nắm chắc kiến thức nhé!

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Vecto chỉ phương của đường thẳng

Cho đường thẳng ( Delta ). Vectơ ( vec{u} neq 0 ) gọi là vecto chỉ phương (VTCP) của đường thẳng ( Delta ) nếu giá của nó song song hoặc trùng với ( Delta ).

Chú ý:

• Nếu ( vec{u} ) là VTCP của ( Delta ) thì ( k cdot vec{u} ) (với ( k neq 0 )) cũng là VTCP của ( Delta ).
• Nếu đường thẳng ( Delta ) đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP.

Các trường hợp đặc biệt:

Đường thẳng	Vecto chỉ phương
Ox	( vec{n}_{Ox} = vec{i} = (1; 0; 0) )
Oy	( vec{n}_{Oy} = vec{j} = (0; 1; 0) )
Oz	( vec{n}_{Oz} = vec{k} = (0; 0; 1) )

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng ( Delta ) đi qua M(x0; y0; z0) và có VTCP ( vec{u} = (a; b; c) ). Khi đó phương trình đường thẳng ( Delta ) có dạng:

Phương trình tham số của đường thẳng ( Delta )

$$
M(t) = (x_0 + at; y_0 + bt; z_0 + ct)
$$

Chú ý: Đối với đường thẳng ( Delta ) có phương trình (1).

• ( vec{u} = (a; b; c) ) là một VTCP của ( Delta ).
• Điểm ( M in Delta ), suy ra M(x0 + at; y0 + bt; z0 + ct).

3. Phương trình chính tắc

Cho đường thẳng ( Delta ) đi qua M(x0; y0; z0) và có VTCP ( vec{u} = (a; b; c) ) với ( abc neq 0 ). Khi đó phương trình đường thẳng ( Delta ) có dạng:

$$
frac{x – x_0}{a} = frac{y – y_0}{b} = frac{z – z_0}{c}
$$

(2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng ( Delta ).

Bài tập ví dụ về phương trình đường thẳng trong không gian

II. KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng ( Delta ) đi qua M0, có VTCP ( vec{u} ) và điểm M không thuộc ( Delta ).

Khi đó để tính khoảng cách từ M đến ( Delta ) ta có các cách sau:

• Cách 1: Sử dụng công thức:

$$ D(M; Delta) = frac{|overrightarrow{MM_0} cdot vec{u}|}{|vec{u}|} $$

• Cách 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với ( Delta ). Tìm giao điểm H của (P) với ( Delta ). Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm.
• Cách 3: Gọi N ∈ d, suy ra tọa độ N theo tham số t. Tính MN theo t. Sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai.

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau ( Delta ) đi qua M0 có VTCP ( vec{u} ) và ( Delta’ ) đi qua M0′ có VTCP ( vec{u’} ). Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng ( Delta ) và ( Delta’ ) được tính theo các cách sau:

• Cách 1: Sử dụng công thức:

$$ d(Delta, Delta’) = frac{[vec{u}, vec{u’}] cdot overrightarrow{M_0M_0′}}{[vec{u}, vec{u’}]} $$

• Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN. Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm.
• Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa ( Delta ) và song song với ( Delta’ ). Khi đó khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên ( Delta’ ) đến (P).

III. VỊ TRÍ TƯƠI ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

d1: ( frac{x – x_0}{a} = frac{y – y_0}{b} = frac{z – z_0}{c} ) đi qua M(x0; y0; z0) có VTCP ( vec{u_1} = (a; b; c) ) và d2: ( frac{x – x_0′}{a’} = frac{y – y_0′}{b’} = frac{z – z_0′}{c’} ) có VTCP ( vec{u’} = (a’; b’; c’) ).

Để xét vị trí tương đối của d1 và d2 ta sử dụng hai phương pháp sau:

Phương pháp hình học:

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng bằng phương pháp hình học

Phương pháp đại số:

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (( alpha )): ( Ax + By + Cz + D = 0 ) có VTPT ( vec{n}(alpha) = (A; B; C) ) và đường thẳng ( d ) đi qua M(x0; y0; z0), có VTCP ( vec{u_d} = (a; b; c) ).

Để xét vị trí tương đối giữa d và (( alpha )), ta sử dụng hai phương pháp sau:

Phương pháp hình học:

Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp hình học

Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp hình học

Phương pháp đại số:

3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng:

(với ( R )) và mặt cầu (S): ( (x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2 ).

Để xét vị trí tương đối của d và (( alpha )), ta sử dụng hai phương pháp sau:

Phương pháp hình học:

• Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của (S) đến d.
• Bước 2:

Mối quan hệ	Điều kiện
d không cắt (S)	( d(I,d) > R )
d tiếp xúc (S)	( d(I,d) = R )
d cắt (S)	( d(I,d) < R )

Phương pháp đại số:

• Bước 1: Thay x, y, z từ phương trình tham số của d vào phương trình (S), khi đó ta được phương trình bậc hai theo t.
• Bước 2:

• Nếu phương trình bậc hai vô nghiệm t thì d không cắt (S).
• Nếu phương trình bậc hai có một nghiệm t thì d tiếp xúc (S).
• Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm t thì d cắt (S).

Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t, sau đó thay giá trị của t vào phương trình tham số của d để tìm (x; y; z).

IV. GÓC

1. Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ( d_1; d_2 ) lần lượt có các VTPT là ( vec{u_1}; vec{u_2} ).

Góc giữa ( d_1 ) và ( d_2 ) bằng hoặc bù với góc giữa ( vec{u_1} ) và ( vec{u_2} ).

Công thức là:

$$
cos(d_1, d_2) = frac{vec{u_1} cdot vec{u_2}}{|vec{u_1}| cdot |vec{u_2}|}
$$

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( d ) có VTCP ( vec{u_d} ) và mặt phẳng (( alpha )) có VTPT ( vec{n}(alpha) ).

Góc giữa đường thẳng ( d ) và mặt phẳng (( alpha )) bằng góc giữa đường thẳng ( d ) với hình chiếu ( d’ ) của nó trên (( alpha )).

Công thức là:

$$
sin(d, (alpha)) = frac{|vec{u_d} cdot vec{n}(alpha)|}{|vec{u_d}| cdot |vec{n}(alpha)|}
$$

VI. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Các dạng toán về phương trình đường thẳng (1)

Các dạng toán về phương trình đường thẳng (2)

Các dạng toán về phương trình đường thẳng (3)

Các dạng toán về phương trình đường thẳng (4)

VI. BÀI TẬP

Dưới đây là một số dạng toán cơ bản về Phương trình đường thẳng trong không gian để các em luyện tập:

Bài tập về phương trình đường thẳng trong không gian

Bài tập về phương trình đường thẳng trong không gian (tiếp theo)

Các dạng toán khác về Phương trình đường thẳng trong không gian được ghi chú và diễn giải rất đầy đủ trong cuốn sách Sổ tay Toán học cấp 3 All in one của Tkbooks. Các bạn hãy mua ngay cuốn sách này để ôn luyện các dạng toán này tốt hơn nhé!

Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh cấp 3 hàng đầu tại Việt Nam.

Tkbooks.vn