Nguyên hàm và ứng dụng của nguyên hàm trong Toán học THPT

Nguyên hàm là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Kiến thức này không chỉ có mặt trong 10% các bài toán và câu hỏi trong đề thi THPT Quốc Gia mà còn là nền tảng để các em phát triển kỹ năng giải toán. Hiểu và nắm vững nguyên hàm chính là chìa khóa giúp các em đạt được điểm cao trong kỳ thi quan trọng này.

Dưới đây là các kiến thức cơ bản về nguyên hàm và ứng dụng của nguyên hàm. Các em hãy cùng tham khảo để có thể ôn luyện một cách hiệu quả.

I. NGUYÊN HÀM LÀ GÌ VÀ TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM

1. Nguyên hàm là gì?

Hàm số F(x) xác định trên K được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu:

F(x) = f(x) + C, ∀x ∈ K.

Hàm số F(x) được xác định trên K. Hàm số f(x) được gọi là đạo hàm của F(x) trên K nếu:

∫f(x)dx = F(x) + C, với C ∈ ℝ

Nếu hàm số f(x) liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K.

Ví dụ:

• Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = (x² + C) vì (x² + C)’ = 2x.
• Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = -cosx + C vì (-cosx + C)’ = sinx.

2. Tính chất của nguyên hàm

Các tính chất chính của nguyên hàm có thể được tóm tắt như sau:

– ∫f(x)dx’ = ∫f’(x)dx = f(x) + C – ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx với k ≠ 0 – ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx + C – ∫f(x)dx = F(x) + C ⇒ ∫f(u(x))·u’(x)dx = F(u(x)) + C

II. BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN

Bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản (1)

Bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản (2)

Bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản (3)

III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

1. Phương pháp đổi biến số

Giả sử ta cần tìm nguyên hàm I = ∫f(x)dx. Trong đó, khi phân tích f(x) = g[u(x)]·u’(x), ta thực hiện phép đổi biến số t = u(x), suy ra dt = u’(x)dx.

Khi đó, ta được nguyên hàm:

∫g(t)dt = G(t) + C = G[u(t)] + C.

Ví dụ 1

2. Phương pháp tính nguyên hàm của hàm số hữu tỉ I = ∫[P(x)/Q(x)]dx

• Nếu bậc của tử số P(x) ≥ bậc của mẫu số Q(x) thì ta sử dụng phương pháp Chia Đa Thức.
• Nếu bậc của tử số P(x) ≤ bậc của mẫu số Q(x) thì ta phân tích mẫu Q(x) thành tích số, rồi sử dụng phương pháp chia để đưa về công thức nguyên hàm số.
• Nếu mẫu không phân tích được thành tích số thì ta thêm bậc để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách đặt X = a·tan(t), nếu mẫu đưa được về dạng X² + a².

Ví dụ 2

3. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b].

Khi đó:

∫udv = uv – ∫vdu (*)

Để tính nguyên hàm ∫f(x)dx bằng từng phần, ta làm như sau:

• B1: Chọn u, v sao cho f(x)dx = udv (chú ý dv = v’(x)dx).

Sau đó tính: v = ∫dv, u = u’·dx.

Chú ý: Đặt u theo thứ tự ưu tiên: “Nhất LOG – Nhì ĐA – Tam LƯỚI – Tứ MŨ”.

• B2: Thay vào công thức (*) và tính ∫vdu.

Thường gặp các dạng sau:

Các dạng toán cơ bản trong phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

IV. ỨNG DỤNG THỰC TIỄN CỦA NGUYÊN HÀM

Giả sử v(t), a(t) là vận tốc, gia tốc của vật M tại thời điểm t và s(t) là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Ta có các mối liên hệ giữa s(t), v(t) và a(t) như sau:

• s'(t) = v(t);
• v'(t) = a(t).

Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc: v(t) = ∫a(t)dt .

Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường s(t) = ∫v(t)dt .

Từ đây ta cũng có quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian t = [a; b] là:

Tính quãng đường vật di chuyển được bằng nguyên hàm.

V. BÀI TẬP

Dưới đây là một số dạng toán cơ bản về Nguyên hàm và ứng dụng của nguyên hàm để các em luyện tập:

Bài tập về Nguyên hàm và ứng dụng của nguyên hàm

Các dạng toán khác về Nguyên hàm và ứng dụng của nguyên hàm được ghi chú và diễn giải rất đầy đủ trong cuốn sách Sổ tay Toán học cấp 3 All in one của Tkbooks. Các bạn hãy mua ngay cuốn sách này để ôn luyện các dạng toán này tốt hơn nhé!

Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh cấp 3 hàng đầu tại Việt Nam.

Tkbooks.vn