Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng – Kiến thức cơ bản cho học sinh THPT

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học THPT. Kiến thức này chiếm khoảng 5% các bài toán và câu hỏi trong đề thi THPT Quốc Gia, vì vậy các em cần nắm chắc phần này để đạt được điểm số tối ưu.

Dưới đây là tổng hợp kiến thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Các em hãy đọc kỹ và ôn luyện thường xuyên để nắm vững kiến thức nhé!

I. KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ chỉ phương thường được ký hiệu là VTCP của đường thẳng A nếu VTCP khác 0 và giá trị của VTCP song song hoặc trùng với A.

Nhận xét: Một đường thẳng có vô số VTCP.

Ví dụ về vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng Δ:

Nhận xét: Nếu đường thẳng Δ có VTCP →u = (a;b) thì có hệ số góc k = b/a.

Ví dụ về phương trình tham số của đường thẳng

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ:

4. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ pháp tuyến thường được ký hiệu là VTPT của đường thẳng Δ nếu n khác 0 và VTPT vuông góc với VTCP của Δ.

Nhận xét:

Một đường thẳng có vô số VTPT.
Mối quan hệ giữa VTCP và VTPT.

→u = (a;b) ⇒ →n = (b;-a)

→n = (A;B) ⇒ →u = (B;-A)

5. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ:
Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ hay Ax + By + C = 0 với C = -Ax₀ – By₀

Nhận xét:

Nếu đường thẳng Δ có VTPT →n = (A;B) thì có hệ số góc k = -A/B.
Nếu A, B, C đều khác 0 thì ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng x/a₀ + y/b₀ = 1 với a₀ = -C/A, b₀ = -C/B.

Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a₀;0) và N(0;b₀).

Ví dụ về phương trình tổng quát của đường thẳng

Các phương trình đường thẳng đặc biệt:

Δ ≡ Ox	Δ // Ox	Δ ≡ Oy	Δ // Oy
PT tổng quát	y = 0	y = m	x = 0
PT tham số	{x=t, y=0	{x=t, y=m	{x=0, y=t

6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát là Δ₁ = a₁x + b₁y + c = 0 và Δ₂ = a₂x + b₂y + c = 0.

Cách 1: Xét tọa độ giao điểm của Δ₁ và Δ₂ (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình:

Số nghiệm của hệ (I)	Hệ quả
0	Δ₁ // Δ₂
1	Δ₁ ∩ Δ₂
Vô số	Δ₁ ≡ Δ₂

Cách 2: Xét tỉ số (nếu a, b, c khác 0)

Điều kiện	Hệ quả
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂	Δ₁ ≡ Δ₂
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂	Δ₁ // Δ₂
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂	Δ₁ ∩ Δ₂ ≠

7. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng Δ : ax + by + c = 0 và hai điểm M(xM;yM) không nằm trên Δ, N(xN, yN) không nằm trên Δ.

M, N nằm cùng phía đối với Δ khi và chỉ khi:

(a·xM + b·yM + c)(a·xN + b·yN + c) > 0

M, N nằm khác phía đối với Δ khi và chỉ khi:

(a·xM + b·yM + c)(a·xN + b·yN + c) < 0

8. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng:

Δ₁ = a₁x + b₁y + c = 0 có VTPT →n₁(a₁; b₁), VTCP →u₁(b₁;-a₁)
Δ₂ = a₂x + b₂y + c = 0 có VTPT →n₂(a₂; b₂), VTCP →u₂(b₂;-a₂)

Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂.

Góc giữa hai đường thẳngVí dụ về cách tính góc giữa hai đường thẳng

9. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ M (xM;yM) đến đường thẳng Δ : ax + by + c = 0 được tính theo công thức:

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Nhận xét: Cho hai đường thẳng Δ₁ = a₁x + b₁y + c = 0 và Δ₂ = a₂x + b₂y + c = 0 cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Lưu ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác ABC, ta có thể thực hiện như sau:

Viết phương trình các đường phân giác A,A, của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC
Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với A, (hoặc A, ).

Nếu B, C nằm khác phía đối với A, thì A, là đường phân giác trong.
Nếu B, C nằm cùng phía đối với A, thì A, là đường phân giác ngoài.

Ví dụ về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

II. ĐƯỜNG TRÒN

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R có phương trình:

(x − a)² + (y − b)² = R²

Hoặc

x² + y² – 2ax – 2by + c = 0

Trong đó c = a² + b² – R²

2. Nhận xét

Phương trình:

x² + y² – 2ax – 2by + c = 0

là phương trình của hình tròn (C) khi a² + b² – c > 0.

Khi đó, bán kính là: R = √(a² + b² – c)

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R và đường thẳng Δ tiếp xúc với (C) = d(I, Δ) = R.

Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M (x₀;y₀) ∈ (C).

Δ đi qua M (x₀;y₀) và có VTPT →IM₀

hay có dạng:

(x₀ − a)(x − x₀) + (y₀ − b)(y − y₀) = 0

Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước.

B1: Viết phương trình của Δ có phương cho trước (phương trình chứa tham số t).
B2: Dựa vào điều kiện: d(I,Δ) = R, ta tìm được t. Từ đó suy ra phương trình của Δ.

Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A(xA;yA) ở ngoài đường tròn (C).

B1: Viết phương trình của Δ đi qua A (chứa 2 tham số).
B2: Dựa vào điều kiện: d(I,Δ) = R, ta tìm được các tham số.

Từ đó suy ra phương trình của Δ.

4. Phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm

Cho M (xM;yM) nằm ngoài đường tròn tâm I(a;b) bán kính R.

Từ M dựng 2 tiếp tuyến tiếp xúc đường tròn tại 2 điểm A, B.

Phương trình đường thẳng AB có dạng:

(x − a)(xM − a) + (y – b)(yM – b) = R²

5. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Gọi d là khoảng cách từ tâm O của đường tròn (C) đến đường thẳng Δ.

Ta có:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

6. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho (C): x² + y² – 2a₁x – 2b₁y + c₁ = 0

(C₂): x² + y² – 2a₂x – 2b₂y + c₂ = 0

Ví trí tương đối của hai đường tròn

III. ĐƯỜNG ELIP

1. Định nghĩa

Cho hai điểm cố định F₁ và F₂ với F₁.F₂ = 2c (c > 0). Tập hợp các điểm M thỏa mãn MF₁ + MF₂ = 2a (a không đổi và a > c > 0) là một đường Elip.

F₁, F₂ là hai tiêu điểm.
FF₂ = 2c là tiêu cự của Elip.

Đường elip

2. Phương trình chính tắc của Elip

(E) : x²/a² + y²/b² = 1 (với a² + b² = c²)

Điểm M(xM;yM) ∈ (E) ⇔ xM²/a² + yM²/b² = 1 và |xM| ≤ a, |yM| ≤ b.

3. Tính chất và hình dạng của Elip

IV. Bài tập về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Dưới đây là một số dạng toán cơ bản về Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để các em luyện tập:

Bài tập về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Các dạng toán khác về Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng được ghi chú và diễn giải rất đầy đủ trong cuốn Sổ tay Toán học cấp 3 All in one của Tkbooks. Các bạn hãy mua ngay cuốn sách này để ôn luyện các dạng toán này tốt hơn nhé!

Tkbooks tự hào là nhà xuất bản sách tham khảo cho học sinh cấp 3 hàng đầu tại Việt Nam.

Tkbooks.vn